Area Under the ROC Curve (AUC) を実装する

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2017-03-04

Area Under the ROC Curve (AUC) を実装する

追記 (2017/03/10)

現在の内容は過度な簡略化と不完全な説明を含むので、それを踏まえて読んでいただけると幸いです。（後日更新予定）

https://twitter.com/myui/status/840089982991708160

二値分類器の評価指標として Area Under the ROC Curve (AUC) がある。これは Root Mean Squared Error (RMSE) が測る『誤差』や Precision, Recall で求める『正解率』のような直感的な指標ではないので、どうもイメージしづらい。

というわけで実際に実装して「結局AUCって何？」を知る。詳しくは以下の論文を参照のこと。

Tom Fawcett. An introduction to ROC analysis. Pattern Recognition Letters 27 (2006) 861–874.

AUCとは結局なにを計算しているのか

サンプルに対して 0から1の範囲でスコア（確率）を与える二値分類器 の精度を評価することを考える。

このときAUCは『予測スコアでサンプルを（降順）ソートしたときに、True Positive となるサンプルが False Positive となるサンプルより上位にきているか』ということを測る。つまり、ラベル 1 のサンプルに正しく高スコアを与える予測器であるか を見ている。

推薦などのランキング問題の評価でもAUCが登場するけど、イメージはそれとほぼ同じ。

たとえば、以下のようなソート済スコアと真のラベルのペアがあったとき、真のラベルが 1,1,1,0,0 と並ぶことが理想。しかし今は 1,1,0,1,0 となっているので、このスコアリングは最高精度とは言えない。

予測スコア	真のラベル
0.8	1
0.7	1
0.5	0
0.3	1
0.2	0

AUCの実装 is 台形（長方形）の面積の逐次計算

この True Positive が False Positive より上位にランキングされるか という考えを念頭に置くとAUCの実装が理解しやすい。

具体的には、降順にソートされた予測スコア pred と、それらの真のラベル label を順に処理して、各時点での True Positive, False Positive の増分から面積を求めて加算的に計算していく。

コードにすると以下のような雰囲気。

def trapezoid(x1, x2, y1, y2):
    """与えられた長方形（台形）の面積を求める
    """
    base = abs(x1 - x2)
    height = (y1 + y2) / 2.
    return base * height


def auc(pred, label):
    """ソート済スコアとラベルのリストからAUCを求める
    """
    n = len(pred)

    a = 0.
    score_prev = float('-inf')
    fp = tp = 0
    fp_prev = tp_prev = 0

    # ソート済スコアとラベルのペアを逐次的にみていく
    for i in range(n):
        if pred[i] != score_prev:
            # True Positive (False Positive) の増分がつくる長方形の面積を加算
            a += trapezoid(fp, fp_prev, tp, tp_prev)

            score_prev = pred[i]
            fp_prev = fp
            tp_prev = tp

        # 現時点での True Positive, False Positive 数
        if label[i] == 1:
            tp += 1
        else:
            fp += 1

    a += trapezoid(fp, fp_prev, tp, tp_prev)

    # 最大面積で正規化
    return a / (tp * fp)

やっていることを図で描くと以下のような感じ。False Positive-True Positive のグラフ上に作られる長方形の面積を足し合わせていく。

auc1

▲ 初期状態。そもそも ROC Curve は横軸に False Positive Rate、縦軸に True Positive Rate をとったグラフなので、AUCの計算でも False Positive, True Positive の数をそれぞれの軸にとる。

auc2

▲ 1サンプル目、最もスコアが高かったサンプル。label = 1 だったので、True Positiveカウントを増やす。

auc3

▲ 2サンプル目。同じく label = 1 だったので、True Positiveカウントを増やす。

auc4

▲ 3サンプル目。label = 0 なので False Positive カウントを増やす。

auc5

▲ 4サンプル目。label = 1 なので True Positive + 1。ここまでくると、グラフの下に長方形をみることができる。この面積は横2×縦1=2である。

auc6

▲ 5サンプル目は False Positive。これで最後なので、4サンプル目以降にできた大きな長方形の面積を求めると縦3×横1=3となる。つまり、ソート済みサンプルから得られた False Positive-True Positive グラフの下の面積は 2+3=5 だとわかる。

auc7

▲ ROC Curve は True Positive (False Positive) "Rate" を考えるので、最後に得られた面積を正規化する。今回は全部で label = 1 のサンプルが3つ、label = 0 のサンプルが2つあったので、最大で縦3 × 横2 = 面積6 の長方形が得られるはず。というわけで、この場合のAUCは 5 / 6 = 0.83333 となる。

以上、これがAUCによる精度評価の内側。例えばラベルが 1,1,1,0,0 の順で来ればAUCは最高の 1.0 になって、逆に 0,0,1,1,1 の順で来れば最悪の 0.0 になる。

まとめ

AUCによる精度評価の “気持ち” を実装しながらつかんだ。True Positive が False Positive より上位にランキングされるか という視点と、それを False Positive-True Positive グラフの下の面積 に対応付けることがポイント。

ROC Analysis はそれだけでワークショップが開催できるくらい難しいトピックだけど、実用上はこれくらい分かっていれば十分な気がする。

カテゴリ

機械学習

書いた人: たくち

たくちです。長野県出身、カナダ・バンクーバー在住のソフトウェアエンジニア。これまでB2B/B2Cの各領域で、Web技術・データサイエンス・機械学習のプロダクト化および顧客への導入支援・コンサルティング、そして関連分野のエバンジェリズムに携わってきました。現在はフリーランスとして活動を続けつつ、アフリカ・マラウイにて1年間の国際ボランティアに従事中。詳しい経歴はレジュメを参照ください。いろいろなまちを走って、時に自然と戯れながら、その時間その場所の「日常」を生きています。ご意見・ご感想およびお仕事のご相談は [email protected] まで。

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